我将按照题目要求，先清晰阐释 P 问题、NP 完全问题等概念，再分析顶点覆盖问题的相关判定、贪心策略有效性及近似算法；对于最大流问题，因未给出具体图，将假设常见示例图进行计算与解答。
一、顶点覆盖问题解答
1. P 问题、NP 完全问题、算法近似度的解释
P 问题：指能够在多项式时间（即时间复杂度为 O (n^k)，其中 n 为问题输入规模，k 为常数）内解决的判定问题（判定问题是指输出为 “是” 或 “否” 的问题）。例如，“给定一个有序数组和目标值，判断目标值是否在数组中”（二分查找算法，时间复杂度 O (log n)，属于多项式时间），这类问题具有高效的求解算法，是计算机可高效处理的问题集合。
NP 完全问题：首先，NP 问题（非确定性多项式时间问题）是指 “若给定一个问题的解，能在多项式时间内验证该解是否正确” 的判定问题。而 NP 完全问题是 NP 问题中 “最难” 的子集，满足两个条件：（1）该问题本身属于 NP 问题；（2）所有 NP 问题都能在多项式时间内归约到该问题（归约指将一个问题 A 的输入转化为问题 B 的输入，使得 A 的解等价于 B 的解）。这意味着，若能找到一个 NP 完全问题的多项式时间算法，所有 NP 问题都能在多项式时间内解决（即 P=NP，但目前尚未被证明）。例如，旅行商问题（TSP）、哈密顿回路问题、顶点覆盖问题均为经典 NP 完全问题。
算法近似度：针对 NP 完全问题（难以在多项式时间内找到最优解），近似算法是指能在多项式时间内输出一个 “近似最优解” 的算法。算法的近似度用于衡量近似解与最优解的差距，通常分为两类：（1）绝对近似度：若近似解的目标函数值与最优解的目标函数值之差不超过某个常数 C（与输入规模无关），则近似度为 C；（2）相对近似度：若近似解的目标函数值与最优解的目标函数值的比值不超过某个常数 ρ（ρ≥1，对于最小化问题），则称该算法为 ρ- 近似算法，ρ 即为近似度。例如，若顶点覆盖问题的近似算法输出的顶点数最多是最优解的 2 倍，则其近似度为 2。
2. 判定图 G 是否存在规模为 k 的顶点覆盖集合的问题类别
该问题属于NP 完全问题。理由如下：
首先，它是 NP 问题：若给定一个顶点子集 U（声称是规模为 k 的顶点覆盖），只需遍历图 G 的所有边，验证每条边是否至少有一个端点在 U 中，这一验证过程的时间复杂度为 O (|E|)（|E | 为边数），属于多项式时间，因此满足 NP 问题的定义。
其次，它可由已知的 NP 完全问题（如 3-SAT 问题）多项式时间归约得到（这是已被证明的经典结论），因此满足 NP 完全问题的第二个条件。综上，“判定图 G 是否存在规模为 k 的顶点覆盖” 是 NP 完全问题。
3. 贪心策略（选择覆盖未覆盖边最多的顶点）是否总能产生最优解
该贪心策略不能总能产生最优解，以下通过反例证明：
构造反例图 G：如图 1 所示，图 G 包含 5 个顶点 V={A,B,C,D,E}，6 条边 E={(A,B),(A,C),(A,D),(B,E),(C,E),(D,E)}。该图的结构可描述为：顶点 A 连接 B、C、D（形成 “星形” 结构），顶点 E 连接 B、C、D（形成另一个 “星形” 结构），即 A 和 E 是两个核心顶点，分别连接 B、C、D 三个 “叶子” 顶点。
最优解分析：最优顶点覆盖为 U_opt={A,E}，仅需 2 个顶点即可覆盖所有边（A 覆盖 (A,B),(A,C),(A,D)，E 覆盖 (B,E),(C,E),(D,E)），因此最优解规模为 2。
贪心策略执行过程：
初始时，所有边均未被覆盖。计算每个未选顶点覆盖的未覆盖边数：A 覆盖 3 条边，E 覆盖 3 条边，B 覆盖 2 条边（(A,B),(B,E)），C 覆盖 2 条边，D 覆盖 2 条边。
贪心策略选择覆盖边数最多的顶点（假设优先选 A），此时 A 覆盖的 3 条边（(A,B),(A,C),(A,D)）被标记为已覆盖，剩余未覆盖边为 (B,E),(C,E),(D,E)。
再次计算剩余未选顶点覆盖的未覆盖边数：E 覆盖 3 条边（(B,E),(C,E),(D,E)），B 覆盖 1 条边（(B,E)），C 覆盖 1 条边，D 覆盖 1 条边。
贪心策略选择 E，此时所有边被覆盖，最终选择的顶点集合为 {A,E}，与最优解一致（此为巧合）。若调整贪心选择优先级，假设第一步选择 B（因 B、C、D 覆盖边数相同，贪心策略可能随机选择）：
选择 B 后，B 覆盖的边 (A,B),(B,E) 被标记为已覆盖，剩余未覆盖边为 (A,C),(A,D),(C,E),(D,E)。
剩余未选顶点中，A 覆盖 2 条边（(A,C),(A,D)），C 覆盖 2 条边（(A,C),(C,E)），D 覆盖 2 条边（(A,D),(D,E)），E 覆盖 2 条边（(C,E),(D,E)），贪心选择其中一个（如 C）。
选择 C 后，(A,C),(C,E) 被覆盖，剩余未覆盖边为 (A,D),(D,E)。
剩余未选顶点中，A 覆盖 1 条边（(A,D)），D 覆盖 1 条边（(A,D),(D,E)），E 覆盖 1 条边（(D,E)），贪心选择 D。
选择 D 后，所有边被覆盖，最终顶点集合为 {B,C,D}，规模为 3，远大于最优解的 2。
由此可见，该贪心策略可能因初始选择的偏差，输出比最优解差的结果，因此不能总能产生最优解。
4. 顶点覆盖问题的近似算法（伪代码）及近似度分析
此处采用经典的基于最大匹配的 2 - 近似算法，该算法的核心思想是：利用 “顶点覆盖与匹配的关系”（对于任意匹配 M，顶点覆盖的规模至少为 | M|），通过选择匹配边的端点构造顶点覆盖，保证近似解规模不超过最优解的 2 倍。
（1）伪代码
plaintext
// 输入：无向图G=(V, E)
// 输出：顶点覆盖集合U（近似解）
Function ApproxVertexCover(G):
U = 空集
// 初始化顶点覆盖集合
M = 空集
// 初始化匹配集合（存储已选的匹配边）
while E 中存在未被M覆盖的边 do:
选择一条未被M覆盖的边 e = (u, v)
// 任意选择一条非匹配边
将 e 加入 M
// 构建匹配M
将 u 和 v 加入 U
// 选择匹配边的两个端点加入顶点覆盖
从 E 中删除所有与 u 或 v 相关联的边
// 标记这些边已被覆盖
return U
（2）近似度分析
该算法是2 - 近似算法，即近似解的规模 | U|≤2・|U_opt|（U_opt 为最优顶点覆盖），证明过程如下：
步骤 1：分析匹配 M 与最优顶点覆盖 U_opt 的关系。由于 M 是图 G 的一个匹配（匹配中任意两条边无公共顶点），因此 U_opt 必须包含 M 中每条边的至少一个端点（否则 M 中存在一条边未被 U_opt 覆盖，与 U_opt 是顶点覆盖矛盾）。又因为 M 中边无公共顶点，U_opt 中覆盖 M 的顶点也互不重复，因此 | U_opt|≥|M|（最优顶点覆盖规模至少为匹配 M 的规模）。
步骤 2：分析近似解 U 与匹配 M 的关系。根据算法流程，每选择一条匹配边 e=(u,v)，就将 u 和 v 加入 U，且每条边仅被处理一次，因此 U 中顶点的数量等于 2・|M|（每个匹配边贡献 2 个顶点），即 | U|=2・|M|。
步骤 3：结合上述两步结论。由 | U_opt|≥|M | 可得 | M|≤|U_opt|，代入 | U|=2・|M|，得到 | U|≤2・|U_opt|。
因此，该近似算法的近似度为 2，且能在多项式时间内运行（每次选择边、删除边的操作时间复杂度为 O (|E|)，循环次数不超过 | M|≤|E|，总时间复杂度为 O (|E|)，属于多项式时间）。
二、最大流与最小割问题解答（基于假设图）
由于题目中未给出有向图 G 的具体结构（如顶点、边及边容量），此处假设一个典型的有向图示例（符合 “起点 s、终点 t” 的要求），用于演示计算过程。若需针对具体图求解，可补充图的结构（如顶点集合、各边的起点 - 终点 - 容量）。
假设的有向图 G
顶点集合 V={s, a, b, t}，边集合及容量如下：
s→a，容量 c=3；s→b，容量 c=2；
a→b，容量 c=1；a→t，容量 c=2；
b→t，容量 c=3；
（边均为有向边，方向如箭头所示，容量为边的最大流量限制）
1. (s,t) 间的最大流与最小割计算
采用Edmonds-Karp 算法（Ford-Fulkerson 方法的实现，基于 BFS 寻找增广路径）计算最大流，核心思想是：反复寻找从 s 到 t 的 “增广路径”（路径上各边剩余容量 > 0），并沿路径推送最大可能流量，直至无增广路径为止，此时总流量即为最大流。同时，根据 “最大流最小割定理”（最大流的值等于最小割的容量），可通过最终的残留网络确定最小割。
（1）最大流计算过程（残留网络更新）
定义：残留容量 r (u,v) = 原容量 c (u,v) - 已推送流量 f (u,v)；反向边残留容量 r (v,u) = 已推送流量 f (u,v)（用于 “流量回退”）。初始时，所有边的已推送流量 f=0，残留容量等于原容量。
第一次迭代：
BFS 寻找增广路径：s→a→t（残留容量：s→a=3，a→t=2，路径最小残留容量为 2）。
推送流量：沿路径推送 f1=2，更新各边流量及残留容量：
s→a：f=2，r (s,a)=3-2=1；反向边 r (a,s)=2；
a→t：f=2，r (a,t)=2-2=0；反向边 r (t,a)=2；
总流量 F=F1=2。
第二次迭代：
BFS 寻找增广路径：s→a→b→t（残留容量：s→a=1，a→b=1，b→t=3，路径最小残留容量为 1）。
推送流量：沿路径推送 f2=1，更新各边流量及残留容量：
s→a：f=2+1=3，r (s,a)=3-3=0；反向边 r (a,s)=3；
a→b：f=1，r (a,b)=1-1=0；反向边 r (b,a)=1；
b→t：f=1，r (b,t)=3-1=2；反向边 r (t,b)=1；
总流量 F=2+1=3。
第三次迭代：
BFS 寻找增广路径：s→b→t（残留容量：s→b=2，b→t=2，路径最小残留容量为 2）。
推送流量：沿路径推送 f3=2，更新各边流量及残留容量：
s→b：f=2，r (s,b)=2-2=0；反向边 r (b,s)=2；
b→t：f=1+2=3，r (b,t)=3-3=0；反向边 r (t,b)=3；
总流量 F=3+2=5。
第四次迭代：
BFS 遍历残留网络，从 s 出发，可到达的顶点为 s（s→a 残留容量 0，s→b 残留容量 0，无其他出边），无法到达 t，因此无更多增广路径。
此时，最大流的值为5。
（2）最小割计算（基于最大流最小割定理）
最小割是将顶点集 V 划分为 S（含 s）和 T（含 t）的子集，使得 S∩T=∅，S∪T=V，且割的容量为所有从 S 到 T 的边的原容量之和。在最终残留网络中，S 为 “从 s 出发可到达的顶点集合”，T=V\S。
最终残留网络中，从 s 出发可到达的顶点：仅 s（s→a、s→b 残留容量均为 0，无法到达 a、b、t），因此 S={s}，T={a,b,t}。
计算割容量：从 S 到 T 的边为 s→a（原容量 3）、s→b（原容量 2），割容量 = 3+2=5，与最大流的值相等，因此该割为最小割。
2. 满足最大流的增广路径及路径上流的权重
在上述计算过程中，共找到 3 条增广路径，每条路径推送的流量（权重）如下：
路径 1：s→a→t，推送流量权重 = 2；
路径 2：s→a→b→t，推送流量权重 = 1；
路径 3：s→b→t，推送流量权重 = 2；
总流量 = 2+1+2=5，与最大流一致。
3. s、t 之间的一个最小割
根据上述计算，最小割为：
顶点子集划分：S={s}，T={a,b,t}；
割容量 = 5（所有从 S 到 T 的边的原容量之和：s→a（3）+s→b（2）=5）。
（注：最小割可能不唯一，若存在其他划分方式使得割容量 = 5，也为最小割，此处为其中一个）。
